Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 2 x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x^{4} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- 2 x}$ .

$x^{4} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$ .

$f' (x) = - 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 x^{3} e^{- 2 x}$ da $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $2 x^{3} e^{- 2 x}$ da $- 2 x^{4} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $2 x^{3} e^{- 2 x}$ da $4 x^{3} e^{- 2 x}$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $2 x^{3} e^{- 2 x}$ da $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2)$ .

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- 2 x} = 0$

$- x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{- 2 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{- 2 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{- 2 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 2 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $- x + 2$ uguale a $0$ .

$- x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $- x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{4} e^{- 2 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{4} e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- 2 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

${(2)}^{4} e^{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$16 e^{- 2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$16 e^{- 4}$

Passaggio 4.2.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 4.2.2.4

$16$ e $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{16}{e^{4}}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (2, \frac{16}{e^{4}})$

Passaggio 5