Calcolo Esempi

$f (x) = 4 {(x)}^{2} + 5 (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} + 5 (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [5 (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 x + 5 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$8 x + 5$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x + 5 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 x = - 5$

Passaggio 2.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x = - 5$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 5}{8}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 5}{8}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{8}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{8}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 4 {(x)}^{2} + 5 (x)$ con $x = - \frac{5}{8}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 {(- \frac{5}{8})}^{2} + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{8})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (1 (\frac{5^{2}}{8^{2}})) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{5^{2}}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{8^{2}}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{64}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 (16)}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5}{8}) = 4 (\frac{25}{4 \cdot 16}) + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + 5 (- \frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.7

Moltiplica $5 (- \frac{5}{8})$ .

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Passaggio 3.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - 5 (\frac{5}{8})$

Passaggio 3.2.1.7.2

$- 5$ e $\frac{5}{8}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 5 \cdot 5}{8}$

Passaggio 3.2.1.7.3

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} + \frac{- 25}{8}$

Passaggio 3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25}{8}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $- \frac{25}{8}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica $\frac{25}{8}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25}{16} - \frac{25 \cdot 2}{16}$

Passaggio 3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{16}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.5.1

Moltiplica $- 25$ per $2$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{25 - 50}{16}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $50$ da $25$ .

$f (- \frac{5}{8}) = \frac{- 25}{16}$

Passaggio 3.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5}{8}) = - \frac{25}{16}$

Passaggio 3.2.7

La risposta finale è $- \frac{25}{16}$ .

$- \frac{25}{16}$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 4 {(x)}^{2} + 5 (x)$ è $y = - \frac{25}{16}$ .

$y = - \frac{25}{16}$

Passaggio 5