Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$

Passaggio 1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 x^{2} - 4 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $9 x^{2} - 4 x$ e $0$ .

$9 x^{2} - 4 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $9 x^{2} - 4 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$x (9 x) - 4 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$x (9 x) + x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $x$ da $x (9 x) + x \cdot - 4$ .

$x (9 x - 4) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 4 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $9 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $9 x - 4$ uguale a $0$ .

$9 x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $9 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 4$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 4$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{4}{9}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{9}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (9 x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{4}{9}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 3 {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} - 9$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 3 \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} - 9$

Passaggio 3.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 9$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 9$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 9$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$f (0) = - 9$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 9$ .

$- 9$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ con $x = \frac{4}{9}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{9}) = 3 {(\frac{4}{9})}^{3} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{4^{3}}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{9^{3}}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{729}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $729$ .

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 (243)}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{9}) = 3 (\frac{64}{3 \cdot 243}) - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 {(\frac{4}{9})}^{2} - 9$

Passaggio 4.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{9}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{4^{2}}{9^{2}} - 9$

Passaggio 4.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 \frac{16}{9^{2}} - 9$

Passaggio 4.2.1.7

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - 2 (\frac{16}{81}) - 9$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica $- 2 (\frac{16}{81})$ .

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Passaggio 4.2.1.8.1

$- 2$ e $\frac{16}{81}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 2 \cdot 16}{81} - 9$

Passaggio 4.2.1.8.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} + \frac{- 32}{81} - 9$

Passaggio 4.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32}{81} - 9$

Passaggio 4.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{32}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - (\frac{32}{81} \cdot \frac{3}{3}) - 9$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{32}{81}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} - 9$

Passaggio 4.2.2.3

Scrivi $- 9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1}$

Passaggio 4.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{243}{243}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{243}{243}$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{81 \cdot 3} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.6

Riordina i fattori di $81 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 81} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64}{243} - \frac{32 \cdot 3}{243} + \frac{- 9 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 32 \cdot 3 - 9 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 32$ per $3$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 9 \cdot 243}{243}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $- 9$ per $243$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{64 - 96 - 2187}{243}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.5.1

Sottrai $96$ da $64$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 32 - 2187}{243}$

Passaggio 4.2.5.2

Sottrai $2187$ da $- 32$ .

$f (\frac{4}{9}) = \frac{- 2219}{243}$

Passaggio 4.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{9}) = - \frac{2219}{243}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $- \frac{2219}{243}$ .

$- \frac{2219}{243}$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} - 9$ sono $y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$ .

$y = - 9, y = - \frac{2219}{243}$

Passaggio 6