Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 3 x + 2$

Passaggio 1

Imposta $y$ come una funzione di $x$ .

$f (x) = x^{4} - 3 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x^{3} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$4 x^{3} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 3 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $4 x^{3} - 3$ e $0$ .

$4 x^{3} - 3$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} = 3$

Passaggio 3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{3} = 3$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{4}$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{4}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{4}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{4}$ alla potenza di $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ come $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.3.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Passaggio 3.4.3.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ come $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Passaggio 3.4.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{16}}{4}$

Passaggio 3.4.4.3

Riscrivi $16$ come $2^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Passaggio 3.4.4.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.5.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{3 \cdot 2}}{4}$

Passaggio 3.4.4.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{4}$

Passaggio 3.4.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt[3]{6}$ .

$x = \frac{2 (\sqrt[3]{6})}{4}$

Passaggio 3.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \sqrt[3]{6}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ con $x = \frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = {(\frac{\sqrt[3]{6}}{2})}^{4} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{{\sqrt[3]{6}}^{4}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{6}}^{4}$ come $\sqrt[3]{6^{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{4}}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{1296}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2.3

Riscrivi $1296$ come $6^{3} \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.3.1

Scomponi $216$ da $1296$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{216 (6)}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2.3.2

Riscrivi $216$ come $6^{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{6^{3} \cdot 6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{2^{4}} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{6 \sqrt[3]{6}}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{16} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 (8)} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{2 (3 \sqrt[3]{6})}{2 \cdot 8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - 3 \frac{\sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.5

$- 3$ e $\frac{\sqrt[3]{6}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} + \frac{- 3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} + 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6}}{2} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 \sqrt[3]{6}}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{2 \cdot 4} + 2$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6}}{8} - \frac{3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Passaggio 4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 3 \sqrt[3]{6} \cdot 4}{8} + 2$

Passaggio 4.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1.1

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{3 \sqrt[3]{6} - 12 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Passaggio 4.2.5.1.2

Sottrai $12 \sqrt[3]{6}$ da $3 \sqrt[3]{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = \frac{- 9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Passaggio 4.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{\sqrt[3]{6}}{2}) = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$- \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x^{4} - 3 x + 2$ è $y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$ .

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = - \frac{9 \sqrt[3]{6}}{8} + 2$

Forma decimale:

$y = - 0.04426066 \dots$

Passaggio 7