Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + \frac{1}{x} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 2.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2.2

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $2 x + \frac{1}{x} = 0$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica ogni termine in $2 x + \frac{1}{x} = 0$ per $x$ .

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $0$ per $x$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = - 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.3.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Passaggio 2.3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 2.3.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.4.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.4.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.3.4.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.3.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.7.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.3.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3

Non è possibile individuare una tangente in un punto immaginario. Il punto in corrispondenza di $x =$ non esiste sul sistema di coordinate reali.

Non è possibile ricavare una tangente dalla radice

Passaggio 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

Passaggio 5