Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 11 x - 15$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 11 x - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [11 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $11 x$ rispetto a $x$ è $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $11$ per $1$ .

$2 x + 11 + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 11 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $2 x + 11$ e $0$ .

$2 x + 11$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + 11 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $11$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 11$

Passaggio 2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 11$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 11$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 11}{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{11}{2}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{2} + 11 x - 15$ con $x = - \frac{11}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{11}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{11}{2}) = {(- \frac{11}{2})}^{2} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{11}{2})}^{2} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{11^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = 1 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{11^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{11^{2}}{2^{2}} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $11$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{2^{2}} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + 11 (- \frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $11 (- \frac{11}{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - 11 (\frac{11}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.1.6.2

$- 11$ e $\frac{11}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + \frac{- 11 \cdot 11}{2} - 15$

Passaggio 3.2.1.6.3

Moltiplica $- 11$ per $11$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} + \frac{- 121}{2} - 15$

Passaggio 3.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121}{2} - 15$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $\frac{121}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - (\frac{121}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 15$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{121}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 15$

Passaggio 3.2.2.3

Scrivi $- 15$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 15}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 15}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121}{4} - \frac{121 \cdot 2}{4} + \frac{- 15 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 121 \cdot 2 - 15 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 121$ per $2$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 242 - 15 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{121 - 242 - 60}{4}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $242$ da $121$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{- 121 - 60}{4}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $60$ da $- 121$ .

$f (- \frac{11}{2}) = \frac{- 181}{4}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{11}{2}) = - \frac{181}{4}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{181}{4}$ .

$- \frac{181}{4}$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x^{2} + 11 x - 15$ è $y = - \frac{181}{4}$ .

$y = - \frac{181}{4}$

Passaggio 5