Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 36 (2 x) + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $36$ .

$6 x^{2} + 72 x + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $192 x$ rispetto a $x$ è $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $192$ per $1$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + \frac{d}{d x} [15]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $6 x^{2} + 72 x + 192$ e $0$ .

$6 x^{2} + 72 x + 192$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 72 x + 192 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 72 x + 192$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 72 x + 192 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $6$ da $72 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (12 x) + 192 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $6$ da $192$ .

$6 x^{2} + 6 (12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (12 x)$ .

$6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 12 x) + 6 \cdot 32$ .

$6 (x^{2} + 12 x + 32) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 12 x + 32$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $32$ e la cui somma è $12$ .

$4, 8$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x + 4) (x + 8)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x + 4) (x + 8) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x + 4) (x + 8) = 0$ vera.

$x = - 4, - 8$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ con $x = - 4$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 2 {(- 4)}^{3} + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f (- 4) = 2 \cdot - 64 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 64$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 {(- 4)}^{2} + 192 (- 4) + 15$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f (- 4) = - 128 + 36 \cdot 16 + 192 (- 4) + 15$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $36$ per $16$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 + 192 (- 4) + 15$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $192$ per $- 4$ .

$f (- 4) = - 128 + 576 - 768 + 15$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $- 128$ e $576$ .

$f (- 4) = 448 - 768 + 15$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $768$ da $448$ .

$f (- 4) = - 320 + 15$

Passaggio 3.2.2.3

Somma $- 320$ e $15$ .

$f (- 4) = - 305$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 305$ .

$- 305$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ con $x = - 8$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 512$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 {(- 8)}^{2} + 192 (- 8) + 15$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = - 1024 + 36 \cdot 64 + 192 (- 8) + 15$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $36$ per $64$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 + 192 (- 8) + 15$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $192$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - 1024 + 2304 - 1536 + 15$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 1024$ e $2304$ .

$f (- 8) = 1280 - 1536 + 15$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1536$ da $1280$ .

$f (- 8) = - 256 + 15$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $- 256$ e $15$ .

$f (- 8) = - 241$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 241$ .

$- 241$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = 2 x^{3} + 36 x^{2} + 192 x + 15$ sono $y = - 305, y = - 241$ .

$y = - 305, y = - 241$

Passaggio 6