Calcolo Esempi

$f (x) = x \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Passaggio 1.2.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.8

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'esponente.

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Passaggio 2.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x \sqrt{x}$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 0 \cdot 0$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $0$ per $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = x \sqrt{x}$ è $y = 0$ .

$y = 0$

Passaggio 5