Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x^{2} + 6 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$16 x + 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x + 6 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $16 x + 6$ e $0$ .

$16 x + 6$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $16 x + 6 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 x = - 6$

Passaggio 2.2

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x = - 6$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 6}{16}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{16}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$x = \frac{2 (- 3)}{16}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 8}$

Passaggio 2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- 3}{8}$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{8}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ con $x = - \frac{3}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{8}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 {(- \frac{3}{8})}^{2} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{8})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (1 (\frac{3^{2}}{8^{2}})) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{8^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{2}}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8^{2}}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{64}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 (8)}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{8}) = 8 (\frac{9}{8 \cdot 8}) + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (- \frac{3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{8}$ nel numeratore.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 6 (\frac{- 3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 (3) (\frac{- 3}{8}) + 1$

Passaggio 3.2.1.7.3

Scomponi $2$ da $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Passaggio 3.2.1.7.4

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2 \cdot 4})) + 1$

Passaggio 3.2.1.7.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + 3 (\frac{- 3}{4}) + 1$

Passaggio 3.2.1.8

$3$ e $\frac{- 3}{4}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{3 \cdot - 3}{4} + 1$

Passaggio 3.2.1.9

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} + \frac{- 9}{4} + 1$

Passaggio 3.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - (\frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

Passaggio 3.2.2.3

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

Passaggio 3.2.2.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

Passaggio 3.2.2.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 8}{8}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{9 - 18 + 8}{8}$

Passaggio 3.2.4.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 9 + 8}{8}$

Passaggio 3.2.4.3

Somma $- 9$ e $8$ .

$f (- \frac{3}{8}) = \frac{- 1}{8}$

Passaggio 3.2.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{8}) = - \frac{1}{8}$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 8 x^{2} + 6 x + 1$ è $y = - \frac{1}{8}$ .

$y = - \frac{1}{8}$

Passaggio 5