Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$4 - 4 \cos (x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 - 4 \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos (x) = - 4$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = - 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$\cos (x) = 1$

Passaggio 2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 2.6

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Consolida le risposte.

$x = 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ con $x = 2 π$ .

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Passaggio 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

Passaggio 3.2.1.2

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

Passaggio 3.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (2 π) = 8 π + 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $8 π$ e $0$ .

$f (2 π) = 8 π$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $8 π$ .

$8 π$

Passaggio 4

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ è $y = x = 2 π n, y = 8 π$ .

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

Passaggio 5