Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 4 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$12 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x - 4 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $12 x - 4$ e $0$ .

$12 x - 4$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x - 4 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$12 x = 4$

Passaggio 2.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 4$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 4$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{12}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x = \frac{4 (1)}{12}$

Passaggio 2.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ con $x = \frac{1}{3}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 6 {(\frac{1}{3})}^{2} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{3^{2}}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 6 (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (2) (\frac{1}{9}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.4.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{1}{3 \cdot 3})) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 2 (\frac{1}{3}) - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.5

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - 4 (\frac{1}{3}) + 5$

Passaggio 3.2.1.6

$- 4$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{- 4}{3} + 5$

Passaggio 3.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5$

Passaggio 3.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2 - 4}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 + \frac{- 2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = 5 - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.4

$5$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 \cdot 3 - 2}{3}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{15 - 2}{3}$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $2$ da $15$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13}{3}$

Passaggio 3.2.7

La risposta finale è $\frac{13}{3}$ .

$\frac{13}{3}$

Passaggio 4

La tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 6 x^{2} - 4 x + 5$ è $y = \frac{13}{3}$ .

$y = \frac{13}{3}$

Passaggio 5