Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$6 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $6 x^{2} + 18 x - 60$ e $0$ .

$6 x^{2} + 18 x - 60$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 18 x - 60 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 18 x - 60$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 18 x - 60 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $6$ da $18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (3 x) - 60 = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $6$ da $- 60$ .

$6 x^{2} + 6 (3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Passaggio 2.1.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (3 x)$ .

$6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10 = 0$

Passaggio 2.1.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 3 x) + 6 \cdot - 10$ .

$6 (x^{2} + 3 x - 10) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 10$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $3$ .

$- 2, 5$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 2) (x + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 2) (x + 5) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 2) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 2, - 5$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ con $x = 2$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Moltiplica $2$ per ${(2)}^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (2) = 2^{1 + 3} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (2) = 2^{4} + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (2) = 16 + 9 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 16 + 9 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f (2) = 16 + 36 - 60 \cdot 2 + 4$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 60$ per $2$ .

$f (2) = 16 + 36 - 120 + 4$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $16$ e $36$ .

$f (2) = 52 - 120 + 4$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $120$ da $52$ .

$f (2) = - 68 + 4$

Passaggio 3.2.2.3

Somma $- 68$ e $4$ .

$f (2) = - 64$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 64$ .

$- 64$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ con $x = - 5$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = 2 {(- 5)}^{3} + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f (- 5) = 2 \cdot - 125 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 125$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 {(- 5)}^{2} - 60 \cdot - 5 + 4$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = - 250 + 9 \cdot 25 - 60 \cdot - 5 + 4$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $9$ per $25$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 - 60 \cdot - 5 + 4$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $- 60$ per $- 5$ .

$f (- 5) = - 250 + 225 + 300 + 4$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 250$ e $225$ .

$f (- 5) = - 25 + 300 + 4$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 25$ e $300$ .

$f (- 5) = 275 + 4$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $275$ e $4$ .

$f (- 5) = 279$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $279$ .

$279$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = 2 x^{3} + 9 x^{2} - 60 x + 4$ sono $y = - 64, y = 279$ .

$y = - 64, y = 279$

Passaggio 6