Calcolo Esempi

$\csc (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 1.2

Riordina i fattori di $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Passaggio 2.2

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta $\cot (x)$ uguale a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Risolvi $\cot (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$x = arccot (0)$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.2.4

Semplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 2.2.2.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.2.2.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.2.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 2.2.2.4.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.2.2.5

Trova il periodo di $\cot (x)$ .

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Passaggio 2.2.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.2.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.2.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.2.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2.2.6

Il periodo della funzione $\cot (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.3

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Passaggio 2.3.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- \cot (x) \csc (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \csc (x)$ con $x = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Passaggio 3.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \csc (x)$ con $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2} + π$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Passaggio 4.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Passaggio 4.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = \csc (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 4.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.2.5

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Passaggio 4.2.7

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = \csc (x)$ è $y = 1, y = - 1$ .

$y = 1, y = - 1$

Passaggio 6