Calcolo Esempi

$3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$

Passaggio 1

Set each solution of $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ as a function of $x$ .

$y = 100 x y \to f (x) = 100 x y$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 100 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (100 x y)$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(x^{2} + y^{2})}^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$3 (2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 ((x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}])$

Passaggio 2.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Passaggio 2.2.6.2

Riordina i fattori di $(6 x^{2} + 6 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x y$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$100 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$100 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$100 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$100 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$100 (x y' + y)$

Passaggio 2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.3

Espandi $(2 x + 2 y y') (6 x^{2} + 6 y^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2} + 6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2} + 6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (6 x^{2}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 6 x \cdot x^{2} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 \cdot 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 \cdot 6 x^{2 + 1} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$2 \cdot 6 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x^{3} + 2 x (6 y^{2}) + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 x^{3} + 2 \cdot 6 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.5

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 2 y y' (6 x^{2}) + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.6

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y y' (6 y^{2}) = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.7

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.7.1

Sposta $y^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.7.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.4.7.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.7.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.7.3

Somma $2$ e $1$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 6 = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.1.4.8

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' = 100 x y' + 100 y$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $100 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x^{3} + 12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y$

Passaggio 2.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Sottrai $12 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 x y^{2} + 12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3}$

Passaggio 2.5.3.2

Sottrai $12 x y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4

Scomponi $4 y'$ da $12 y y' x^{2} + 12 y^{3} y' - 100 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $4 y'$ da $12 y y' x^{2}$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 12 y^{3} y' - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.2

Scomponi $4 y'$ da $12 y^{3} y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) - 100 x y' = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.3

Scomponi $4 y'$ da $- 100 x y'$ .

$4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $4 y'$ da $4 y' (3 y x^{2}) + 4 y' (3 y^{3})$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.4.5

Scomponi $4 y'$ da $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3}) + 4 y' (- 25 x)$ .

$4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dividi per $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ ciascun termine in $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Dividi per $4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)$ ciascun termine in $4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x) = 100 y - 12 x^{3} - 12 x y^{2}$ .

$\frac{4 y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 2.5.5.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{100 y}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $100$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $100 y$ .

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{4 (25 y)}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x^{3}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $- 12 x^{3}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{(3) x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 12 x y^{2}}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $- 12 x y^{2}$ .

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{4 (- 3 x y^{2})}{4 (3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x)}$

Passaggio 2.5.5.3.1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} + \frac{- 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Passaggio 2.5.5.3.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{25 y}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Passaggio 2.5.5.3.2

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x} - \frac{3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Passaggio 2.5.5.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$

Passaggio 3

The roots of the derivative $\frac{25 y - 3 x^{3} - 3 x y^{2}}{3 y x^{2} + 3 y^{3} - 25 x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Passaggio 4