Calcolo Esempi

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \sin (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4 \sin (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin (2 x) = 0$ .

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \sin (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 2.6.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 2.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.8

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 2 \cos (2 x)$ con $x = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.1

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cos (π)$

Passaggio 3.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- \cos (0))$

Passaggio 3.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 2$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 4

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 2 \cos (2 x)$ è $y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$ .

$y = x = \frac{π n}{2}, y = - 2$

Passaggio 5