Calcolo Esempi

$x^{4} - 18 x^{2} + 81$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $4 x^{3} - 36 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3} - 36 x$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Passaggio 2.1.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Passaggio 2.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3, 3$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ con $x = 0$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{4} - 18 {(0)}^{2} + 81$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 18 {(0)}^{2} + 81$

Passaggio 3.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 81$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 81$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 81$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $0$ e $81$ .

$f (0) = 81$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $81$ .

$81$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ con $x = - 3$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = {(- 3)}^{4} - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (- 3) = 81 - 18 {(- 3)}^{2} + 81$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = 81 - 18 \cdot 9 + 81$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $9$ .

$f (- 3) = 81 - 162 + 81$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $162$ da $81$ .

$f (- 3) = - 81 + 81$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 81$ e $81$ .

$f (- 3) = 0$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ sono $y = 81, y = 0, y = 0$ .

$y = 81, y = 0, y = 0$

Passaggio 6