Calcolo Esempi

$y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$

Passaggio 1

Set each solution of $y^{6} + x^{3}$ as a function of $x$ .

$y = y^{2} + 12 x \to f (x) = y^{2} + 12 x$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $y^{6} + x^{3} = y^{2} + 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{6} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y^{2} + 12 x)$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{6} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 y^{5} y' + 3 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 2.3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y y' + 12 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$2 y y' + 12$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' = 2 y y' + 12$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $2 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 6 y^{5} y' - 2 y y' = 12$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{5} y' - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $2 y y'$ da $6 y^{5} y' - 2 y y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $2 y y'$ da $6 y^{5} y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) - 2 y y' = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.2

Scomponi $2 y y'$ da $- 2 y y'$ .

$2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1 = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $2 y y'$ da $2 y y' (3 y^{4}) + 2 y y' \cdot - 1$ .

$2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

Dividi per $2 y (3 y^{4} - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Dividi per $2 y (3 y^{4} - 1)$ ciascun termine in $2 y y' (3 y^{4} - 1) = 12 - 3 x^{2}$ .

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y y' (3 y^{4} - 1)}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (3 y^{4} - 1)}{y (3 y^{4} - 1)} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2.3

Elimina il fattore comune di $3 y^{4} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{4} - 1)}{3 y^{4} - 1} = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{12}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot 6}{2 (y (3 y^{4} - 1))} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} + \frac{- 3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.5.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} - \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = - \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$\frac{- \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{- 1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}}{1} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Dividi $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{- \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{- 1}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}}{1}$

Passaggio 3.2.3.2

Dividi $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$

Passaggio 3.3

Moltiplica ogni lato per $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica $\frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y (3 y^{4} - 1)$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y (3 y^{4} - 1))} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y (3 y^{4} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1)) = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} = \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (2 y (3 y^{4} - 1))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 x^{2} = 2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica $2 \frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

$2$ e $\frac{6}{y (3 y^{4} - 1)}$ .

$3 x^{2} = \frac{2 \cdot 6}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $y (3 y^{4} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} = \frac{12}{y (3 y^{4} - 1)} (y (3 y^{4} - 1))$

Passaggio 3.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} = 12$

Passaggio 3.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 12$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 3.5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

Passaggio 3.5.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{3}$

Passaggio 3.5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.3.1

Dividi $12$ per $3$ .

$x^{2} = 4$

Passaggio 3.5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 3.5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 3.5.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 3.5.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 3.5.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = y^{2} + 12 (2)$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f (2) = y^{2} + 24$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $y^{2} + 24$ .

$y^{2} + 24$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = y^{2} + 12 x$ at $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = y^{2} + 12 (- 2)$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$f (- 2) = y^{2} - 24$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $y^{2} - 24$ .

$y^{2} - 24$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

$y = y^{2} + 24, y = y^{2} - 24$

Passaggio 7