Calcolo Esempi

$y^{2} - x y - 12 = 0$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Passaggio 1.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - x$ e $c = - 12$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{x \pm \sqrt{{(- x)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 12)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Passaggio 1.3.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 1.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

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Passaggio 1.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.4.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 1.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 1.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{1 x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.4

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 12$ .

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Passaggio 1.5.1.4.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.1.4.2

Moltiplica $- 4$ per $- 12$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 1.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 1.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x + \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2} \to f (x) = \frac{x - \sqrt{x^{2} + 48}}{2}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} - x y - 12 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x y - 12) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - x y - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 y y' - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 y y' - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 12]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y y' - (x y' + y) + 0$

Passaggio 3.2.5

Semplifica.

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Passaggio 3.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 y y' - (x y') - y + 0$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $2 y y' - x y' - y$ e $0$ .

$2 y y' - x y' - y$

Passaggio 3.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - x y' - y = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 3.5.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 y y' - x y' = y$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y'$ da $2 y y' - x y'$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $y'$ da $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x y' = y$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $y'$ da $- x y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (2 y) + y' (- x)$ .

$y' (2 y - x) = y$

Passaggio 3.5.3

Dividi per $2 y - x$ ciascun termine in $y' (2 y - x) = y$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.3.1

Dividi per $2 y - x$ ciascun termine in $y' (2 y - x) = y$ .

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y - x$ .

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Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

Passaggio 4

The roots of the derivative $\frac{y}{2 y - x}$ cannot be found.

No horizontal tangent lines

Passaggio 5