Calcolo Esempi

$18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [18 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [18 \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $18$ .

$- 18 \sin (x) + \frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [9 \sin (2 x)]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$- 18 \sin (x) + 9 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $9$ .

$- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x)$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 18 \sin (x) + 18 \cos (2 x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1

Utilizza l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 18 \sin (x) + 18 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 18 \sin (x) + 18 \cdot 1 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $18$ per $1$ .

$- 18 \sin (x) + 18 + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $18$ .

$- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Fattorizza $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $18$ da $- 18 \sin (x) + 18 - 36 \sin^{2} (x)$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $18$ da $- 18 \sin (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $18$ da $18$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) - 36 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $18$ da $- 36 \sin^{2} (x)$ .

$18 (- \sin (x)) + 18 (1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $18$ da $18 (- \sin (x)) + 18 (1)$ .

$18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $18$ da $18 (- \sin (x) + 1) + 18 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$18 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Riordina i termini.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 2.2.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.2.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$18 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$18 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$18 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.4.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.4.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.4.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.4.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 2.4.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 2.4.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 2.4.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 2.4.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.5.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.5.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.5.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.5.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $18 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ con $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 18 \cos (\frac{π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 18 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (9) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cdot (9 (\frac{\sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Passaggio 3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Passaggio 3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + 9 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 3.2.1.5

$9$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.2

Per scrivere $9 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

$9 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{9 \sqrt{3} \cdot 2 + 9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{18 \sqrt{3} + 9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Somma $18 \sqrt{3}$ e $9 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3.2.5

La risposta finale è $\frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ con $x = \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.2.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{π + 4 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.4.2

Somma $π$ e $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 \cos (\frac{5 π}{6}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \cos (\frac{π}{6})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 18 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $18$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 (9) (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 2 \cdot (9 (\frac{- \sqrt{3}}{2})) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = 9 (- \sqrt{3}) + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.9

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2}))$

Passaggio 4.2.1.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.10.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2}))$

Passaggio 4.2.1.10.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6}))$

Passaggio 4.2.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 2 π \cdot 2}{6}))$

Passaggio 4.2.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.12.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{π + 4 π}{6}))$

Passaggio 4.2.1.12.2

Somma $π$ e $4 π$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Passaggio 4.2.1.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.13.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Passaggio 4.2.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 4.2.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 \sin (\frac{5 π}{3})$

Passaggio 4.2.1.14

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Passaggio 4.2.1.15

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{3})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + 9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.1.16

Moltiplica $9 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.16.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - 9 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.1.16.2

$- 9$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} + \frac{- 9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.1.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $- 9 \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - 9 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

$- 9 \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 9 \sqrt{3} \cdot 2 - 9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 18 \sqrt{3} - 9 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $9 \sqrt{3}$ da $- 18 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = \frac{- 27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}) = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5

La linea tangente orizzontale sulla funzione $f (x) = 18 \cos (x) + 9 \sin (2 x)$ è $y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{27 \sqrt{3}}{2}, y = - \frac{27 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6