Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$

Passaggio 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ as a function of $x$ .

$y = 0 \to f (x) = 0$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} - 9 x y = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3} - 9 x y) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3} - 9 x y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 9 x y]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x y$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y' + y)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 (x y') - 9 y$

Passaggio 2.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y$

Passaggio 2.3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = 0$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 9 x y' - 9 y = - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.1.2

Somma $9 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y' - 9 x y'$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $3 y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 9 x y' = - 3 x^{2} + 9 y$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $3 y'$ da $- 9 x y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $3 y'$ da $3 y' y^{2} + 3 y' (- 3 x)$ .

$3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$

Passaggio 2.5.3

Dividi per $3 (y^{2} - 3 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ e semplifica.

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Passaggio 2.5.3.1

Dividi per $3 (y^{2} - 3 x)$ ciascun termine in $3 y' (y^{2} - 3 x) = - 3 x^{2} + 9 y$ .

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y' (y^{2} - 3 x)}{3 (y^{2} - 3 x)} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y^{2} - 3 x)}{y^{2} - 3 x} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 3 x)} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{9 y}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.3.1

Scomponi $3$ da $9 y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 (3 y)}{3 (y^{2} - 3 x)}$

Passaggio 2.5.3.3.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2} - 3 x} + \frac{3 y}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- x^{2} + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) + 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2.3

Scomponi $- 1$ da $3 y$ .

$y' = \frac{- (x^{2}) - (- 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (- 3 y)$ .

$y' = \frac{- (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.3.3.2.5.1

Riscrivi $- (x^{2} - 3 y)$ come $- 1 (x^{2} - 3 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (x^{2} - 3 y)}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.5.3.3.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2} - 3 y}{y^{2} - 3 x} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} - 3 y = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $3 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3 y$

Passaggio 3.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3 y}$

Passaggio 3.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3 y}$

Passaggio 3.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3 y}$

Passaggio 3.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

$x = \sqrt{3 y}$

$x = - \sqrt{3 y}$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = 0$ at $x = \sqrt{3 y}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3 y}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3 y}) = 0$

Passaggio 4.2

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 5

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0$

$y = 0, y = 0$

Passaggio 6