Calcolo Esempi

$x^{3} + x$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + 1$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} + 1 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = - 1$

Passaggio 2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = - 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{3}$ come $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ .

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Passaggio 2.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

Passaggio 2.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

Passaggio 2.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.4.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{3}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 2.4.7

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.4.7.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.4.7.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.4.7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.4.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.4.7.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.4.7.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.4.7.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.7.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.4.7.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.7.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.4.7.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.4.8

$i$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3

Non è possibile individuare una tangente in un punto immaginario. Il punto in corrispondenza di $x =$ non esiste sul sistema di coordinate reali.

Non è possibile ricavare una tangente dalla radice

Passaggio 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{3} + x$ .

No horizontal tangent lines

Passaggio 5