Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 7$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{3} = 7 - x^{3}$

Passaggio 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt[3]{7 - x^{3}} \to f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 7$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (7)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 3.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 3.5.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $3 y^{2}$ ciascun termine in $3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2})}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x^{2}}{y^{2}} = 0$ .

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Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$x^{2} = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \sqrt[3]{7 - x^{3}}$ at $x = 0$ .

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt[3]{7 - {(0)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 - 0}$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7 + 0}$

Passaggio 5.2.3

Somma $7$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt[3]{7}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\sqrt[3]{7}$ .

$\sqrt[3]{7}$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = \sqrt[3]{7}$

$y = \sqrt[3]{7}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \sqrt[3]{7}$

Forma decimale:

$y = 1.91293118 \dots$

Passaggio 8