Calcolo Esempi

$x^{3} + y^{3} = 2 x y$

Passaggio 1

Set each solution of $x^{3} + y^{3}$ as a function of $x$ .

$y = 2 x y \to f (x) = 2 x y$

Passaggio 2

Because the $y$ variable in the equation $x^{3} + y^{3} = 2 x y$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Passaggio 2.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Passaggio 2.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 (x y' + y)$

Passaggio 2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 x y' + 2 y$

Passaggio 2.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 2 x y' + 2 y$

Passaggio 2.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sottrai $2 x y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y^{2} y' - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y' - 2 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Scomponi $y'$ da $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 2 x y' = 2 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 2 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.3.3

Scomponi $y'$ da $y' (3 y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

Dividi per $3 y^{2} - 2 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Dividi per $3 y^{2} - 2 x$ ciascun termine in $y' (3 y^{2} - 2 x) = 2 y - 3 x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 y^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (3 y^{2} - 2 x)}{3 y^{2} - 2 x} = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 y}{3 y^{2} - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Passaggio 2.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x}$

Passaggio 3

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 2 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 y - 3 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x^{2} = - 2 y$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = - 2 y$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2 y}{- 3}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{2 y}{3}$

Passaggio 3.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{2 y}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 y}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.2.4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.2.4.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.2.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.2.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt{2 y \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.2.4.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 3.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 3.2.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 3.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 4

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

$2$ e $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Passaggio 4.2.2

$\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ e $y$ .

$f (\frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = 2 x y$ at $x = - \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{\sqrt{6 y}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = 2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) \cdot y$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2 (- \frac{\sqrt{6 y}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - 2 \frac{\sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Passaggio 5.2.1.2

$- 2$ e $\frac{\sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = \frac{- 2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{(2) \sqrt{6 y}}{3} \cdot y$

Passaggio 5.2.3

$y$ e $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{y (2 \sqrt{6 y})}{3}$

Passaggio 5.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (- \frac{\sqrt{6 y}}{3}) = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 6

The horizontal tangent lines are $y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{6 y} y}{3}, y = - \frac{2 y \sqrt{6 y}}{3}$

Passaggio 7