Calcolo Esempi

$x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} = 1 - x^{2}$

Passaggio 1.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 y^{2} = 1 - x^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{9} + \frac{- x^{2}}{9}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}$

Passaggio 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Passaggio 1.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{9}}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{x^{2}}{9}}$

Passaggio 1.4.3

Riscrivi $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{x^{2}}{9}}$

Passaggio 1.4.4

Riscrivi $\frac{x^{2}}{9}$ come ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{3}$ e $b = \frac{x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{1}{3} + \frac{x}{3}) (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Passaggio 1.4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} (\frac{1}{3} - \frac{x}{3})}$

Passaggio 1.4.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{1 + x}{3} \cdot \frac{1 - x}{3}}$

Passaggio 1.4.6.3

Moltiplica $\frac{1 + x}{3}$ per $\frac{1 - x}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 1.4.6.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}}$

Passaggio 1.4.7

Riscrivi $\frac{(1 + x) (1 - x)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.7.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(1 + x) (1 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{9}}$

Passaggio 1.4.7.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 1.4.7.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((1 + x) (1 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((1 + x) (1 - x))}$

Passaggio 1.4.8

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 1.4.9

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Passaggio 1.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Passaggio 1.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Passaggio 1.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + 9 y^{2} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 y^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$2 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x + 9 (2 y y')$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$2 x + 18 y y'$

Passaggio 3.2.3

Riordina i termini.

$18 y y' + 2 x$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$18 y y' + 2 x = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$18 y y' = - 2 x$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $18 y$ ciascun termine in $18 y y' = - 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $18 y$ ciascun termine in $18 y y' = - 2 x$ .

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{18 y}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $18 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (9 y)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- x}{9 y}$

Passaggio 3.5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{x}{9 y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{9 y}$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $1 - (0)$ per $1$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Passaggio 5.2.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{1}}{3}$

Passaggio 5.2.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(1 + 0) (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 (1 - (0))}}{3}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $1 - (0)$ per $1$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 - (0)}}{3}$

Passaggio 6.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1 + 0}}{3}$

Passaggio 6.2.2.4

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{1}}{3}$

Passaggio 6.2.2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = - \frac{1}{3}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

$y = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{3}$

Passaggio 8