Calcolo Esempi

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.4

$\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} - 3 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $x^{2} - 3$ e $0$ .

$x^{2} - 3$

Passaggio 2

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} - 3 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 3

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ con $x = \sqrt{3}$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{27} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 3.2.1.3.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.3.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{3}) = \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = - 2 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 2 \sqrt{3} + 2$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 4

Risolvi la funzione originale $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ con $x = - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{3}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.5

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.2.1.5.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.7.1

Scomponi $3$ da $- (3 \sqrt{3})$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{3}) = - (\sqrt{3}) - 3 (- \sqrt{3}) + 2$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- \sqrt{3}) = - \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $2 \sqrt{3} + 2$ .

$2 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 5

Le tangenti orizzontali sulla funzione $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 2$ sono $y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$ .

$y = - 2 \sqrt{3} + 2, y = 2 \sqrt{3} + 2$

Passaggio 6