Calcolo Esempi

${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Passaggio 1.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 2 = \pm \sqrt{4 (x - 3)}$

Passaggio 1.2

Semplifica $\pm \sqrt{4 (x - 3)}$ .

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{2^{2} (x - 3)}$

Passaggio 1.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$y - 2 = \pm 2 \sqrt{x - 3}$

Passaggio 1.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 2 = 2 \sqrt{x - 3}$

Passaggio 1.3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Passaggio 1.3.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 2 = - 2 \sqrt{x - 3}$

Passaggio 1.3.4

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Passaggio 1.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = 2 \sqrt{x - 3} + 2$

$y = - 2 \sqrt{x - 3} + 2 \to f (x) = - 2 \sqrt{x - 3} + 2$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation ${(y - 2)}^{2} = 4 (x - 3)$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} ({(y - 2)}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 (x - 3))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi ${(y - 2)}^{2}$ come $(y - 2) (y - 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(y - 2) (y - 2)]$

Passaggio 3.2.2

Espandi $(y - 2) (y - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y (y - 2) - 2 (y - 2)]$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 (y - 2)]$

Passaggio 3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y \cdot - 2 - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 \cdot y - 2 y - 2 \cdot - 2]$

Passaggio 3.2.3.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 2 y - 2 y + 4]$

Passaggio 3.2.3.2

Sottrai $2 y$ da $- 2 y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} - 4 y + 4]$

Passaggio 3.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} - 4 y + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.6

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 y$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.8

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.9

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 y y' - 4 y' + 0$

Passaggio 3.2.10

Somma $2 y y' - 4 y'$ e $0$ .

$2 y y' - 4 y'$

Passaggio 3.3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 (x - 3)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (1 + 0)$

Passaggio 3.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 y y' - 4 y' = 4$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y' - 4 y'$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Scomponi $2 y'$ da $2 y y'$ .

$2 y' y - 4 y' = 4$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $2 y'$ da $- 4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 2 = 4$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $2 y'$ da $2 y' y + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y - 2) = 4$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $2 (y - 2)$ ciascun termine in $2 y' (y - 2) = 4$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $2 (y - 2)$ ciascun termine in $2 y' (y - 2) = 4$ .

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y' (y - 2)}{2 (y - 2)} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

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Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 2)}{y - 2} = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{4}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 3.5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 \cdot 2}{2 (y - 2)}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{2}{y - 2}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{y - 2}$

Passaggio 4

Imposta la derivata uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{y - 2} = 0$ .

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Passaggio 4.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 4.2

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

Non sono state trovate soluzioni impostando la derivata uguale a $0$ , $\frac{2}{y - 2} = 0$ quindi non ci sono tangenti orizzontali.

Nessuna tangente orizzontale trovata

Passaggio 6