Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

Passaggio 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $\frac{x^{2}}{16}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{4} = 1 - \frac{x^{2}}{16}$

Passaggio 1.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 1.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y^{2}}{4} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 1.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Semplifica $4 (1 - \frac{x^{2}}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 4 \cdot 1 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 1.3.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$y^{2} = 4 + 4 (- \frac{x^{2}}{16})$

Passaggio 1.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{16}$ nel numeratore.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{16}$

Passaggio 1.3.2.1.3.2

Scomponi $4$ da $16$ .

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 (4)}$

Passaggio 1.3.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 4 + 4 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.3.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 4 + \frac{- x^{2}}{4}$

Passaggio 1.3.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 4 - \frac{x^{2}}{4}$

Passaggio 1.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.5

Semplifica $\pm \sqrt{4 - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 1.5.1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{4}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x}{2}) (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 2 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.7

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.8

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{x}{2})}$

Passaggio 1.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2 - x}{2}}$

Passaggio 1.5.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 + x}{2} \cdot \frac{4 - x}{2}}$

Passaggio 1.5.11

Moltiplica $\frac{4 + x}{2}$ per $\frac{4 - x}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.5.12

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}}$

Passaggio 1.5.13

Riscrivi $\frac{(4 + x) (4 - x)}{4}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.13.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $(4 + x) (4 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{4}}$

Passaggio 1.5.13.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 1.5.13.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((4 + x) (4 - x))}$

Passaggio 1.5.14

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

Passaggio 1.5.15

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 1.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 1.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 1.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$

Passaggio 3

Because the $y$ variable in the equation $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{16}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x^{2}}{16}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.3

$2$ e $\frac{1}{16}$ .

$\frac{2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.4

$\frac{2}{16}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.5.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{2 (x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{2}}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{1}{4} (2 y y')$

Passaggio 3.2.3.4

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2}{4} (y y')$

Passaggio 3.2.3.5

$y$ e $\frac{2}{4}$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2}{4} y'$

Passaggio 3.2.3.6

$\frac{y \cdot 2}{4}$ e $y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{y \cdot 2 y'}{4}$

Passaggio 3.2.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 \cdot y y'}{4}$

Passaggio 3.2.3.8

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.8.1

Scomponi $2$ da $2 y y'$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{4}$

Passaggio 3.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{8} + \frac{2 (y y')}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2}$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 3.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{x}{8} + \frac{y y'}{2} = 0$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $\frac{x}{8}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y y'}{2} = - \frac{x}{8}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Passaggio 3.5.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y y'}{2} = 2 (- \frac{x}{8})$

Passaggio 3.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y y' = 2 (- \frac{x}{8})$

Passaggio 3.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Semplifica $2 (- \frac{x}{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{8}$ nel numeratore.

$y y' = 2 \frac{- x}{8}$

Passaggio 3.5.3.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $8$ .

$y y' = 2 \frac{- x}{2 (4)}$

Passaggio 3.5.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$y y' = 2 \frac{- x}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$y y' = \frac{- x}{4}$

Passaggio 3.5.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y y' = - \frac{x}{4}$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = - \frac{x}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $y$ ciascun termine in $y y' = - \frac{x}{4}$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{x}{4}}{y}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 3.5.4.3.2

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{x}{4}$ .

$y' = - \frac{x}{y \cdot 4}$

Passaggio 3.5.4.3.3

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$y' = - \frac{x}{4 y}$

Passaggio 3.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{4 y}$

Passaggio 4

Poni il numeratore uguale a zero.

$x = 0$

Passaggio 5

Solve the function $f (x) = \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Passaggio 5.2.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{16}}{2}$

Passaggio 5.2.2.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (0) = \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Passaggio 5.2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = \frac{4}{2}$

Passaggio 5.2.3

Dividi $4$ per $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6

Solve the function $f (x) = - \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{2}$ at $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - \frac{\sqrt{(4 + 0) (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 - (0))}}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 (4 + 0)}}{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4 \cdot 4}}{2}$

Passaggio 6.2.2.4

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{16}}{2}$

Passaggio 6.2.2.5

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (0) = - \frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.2.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = - \frac{4}{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Dividi $4$ per $2$ .

$f (0) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

Passaggio 8