Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Ci sono tre tipi di simmetria:

1. Simmetria rispetto all'asse x

2. Simmetria rispetto all'asse y

3. Simmetria rispetto all'origine

Passaggio 2

Se $(x, y)$ esiste sul grafico, allora il grafico è simmetrico rispetto a:

1. Asse x se $(x, - y)$ esiste nel grafico

2. Asse y se $(- x, y)$ esiste nel grafico

3. Origine se $(- x, - y)$ esiste nel grafico

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 4.2

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1}}$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ come $x^{2} + 1$ .

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Passaggio 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 4.6.5

Semplifica.

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 5

Check if the graph is symmetric about the $x$ -axis by plugging in $- y$ for $y$ .

$- y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 6

Poiché l'equazione non è identica all'equazione originale, non è simmetrica rispetto all'asse x.

Non è simmetrica rispetto all'asse x

Passaggio 7

Check if the graph is symmetric about the $y$ -axis by plugging in $- x$ for $x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 8.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 8.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Passaggio 8.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 8.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 9

Poiché l'equazione non è identica all'equazione originale, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Non è simmetrica rispetto all'asse y

Passaggio 10

Verifica se il grafico è simmetrico rispetto all'origine sostituendo $- x$ a $x$ e $- y$ a $y$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- x)}^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{1 x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- x)}^{2} + 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{{(- 1)}^{2} x^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{1 x^{2} + 1}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$- y = \frac{- x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 11.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- y = - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12

Moltiplica ogni lato per $- 1$ .

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Passaggio 12.1

Moltiplica ogni termine per $- 1$ .

$- - y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $- - y$ .

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Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- - \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ .

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Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $\frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$ per $1$ .

$y = \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Passaggio 13

Poiché l'equazione è identica all'equazione originale, è simmetrica rispetto all'origine.

Simmetrica rispetto all'origine

Passaggio 14