Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Per trovare la simmetria, determina se la funzione è dispari, pari o né pari né dispari.

1. Se dispari, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.

2. Se pari, la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3

Trova $f (- x)$ .

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Passaggio 3.1

Trova $f (- x)$ sostituendo $- x$ in ogni occorrenza di $x$ in $f (x)$ .

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $- x$ .

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 3.3.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.8.1

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Passaggio 3.3.8.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 3.3.8.3

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 4

Una funzione è pari se $f (- x) = f (x)$ .

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Passaggio 4.1

Verifica se $f (- x) = f (x)$ .

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la funzione non è pari.

La funzione non è pari

Passaggio 5

Una funzione è dispari se $f (- x) = - f (x)$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$ $\neq$ $- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la funzione non è dispari.

La funzione non è dispari

Passaggio 6

La funzione non è né dispari né pari

Passaggio 7

Poiché la funzione è non dispari, non è simmetrica rispetto all'origine.

Nessuna simmetria rispetto all'origine

Passaggio 8

Poiché la funzione è non pari, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Nessuna simmetria rispetto all'asse y

Passaggio 9

Poiché la funzione non è né pari né dispari, non c'è simmetria né rispetto all'origine, né rispetto all'asse y.

La funzione non è simmetrica

Passaggio 10