Calcolo Esempi

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Per trovare la simmetria, determina se la funzione è dispari, pari o né pari né dispari.

1. Se dispari, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.

2. Se pari, la funzione è simmetrica rispetto all'asse y.

Passaggio 2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = x

$a = x$ e

b = 1

$b = 1$ .

f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$f (x) = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3

Trova

f (- x)

$f (- x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova

f (- x)

$f (- x)$ sostituendo

- x

$- x$ in ogni occorrenza di

x

$x$ in

f (x)

$f (x)$ .

f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}

$f (- x) = \frac{{(- x)}^{2}}{((- x) + 1) ((- x) - 1)}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a

- x

$- x$ .

f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{{(- 1)}^{2} x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.2.2

Eleva

- 1

$- 1$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{1 x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica

x^{2}

$x^{2}$ per

1

$1$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- x + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- x

$- x$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) + 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi

1

$1$ come

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(- (x) - 1 \cdot - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- (x) - 1 (- 1)

$- (x) - 1 (- 1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- (x - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi

- (x - 1)

$- (x - 1)$ come

- 1 (x - 1)

$- 1 (x - 1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- x - 1)}$

Passaggio 3.3.5

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- x

$- x$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1)}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi

- 1

$- 1$ come

- 1 (1)

$- 1 (1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot 1)}$

Passaggio 3.3.7

Scomponi

- 1

$- 1$ da

- (x) - 1 (1)

$- (x) - 1 (1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- (x + 1))}$

Passaggio 3.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.8.1

Riscrivi

- (x + 1)

$- (x + 1)$ come

- 1 (x + 1)

$- 1 (x + 1)$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{- 1 (x - 1) (- 1 (x + 1))}$

Passaggio 3.3.8.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{1 (x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 3.3.8.3

Moltiplica

x - 1

$x - 1$ per

1

$1$ .

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$f (- x) = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 4

Una funzione è pari se

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Verifica se

f (- x) = f (x)

$f (- x) = f (x)$ .

Passaggio 4.2

Poiché

\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

\neq

$\neq$

\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la funzione non è pari.

La funzione non è pari

Passaggio 5

Una funzione è dispari se

f (- x) = - f (x)

$f (- x) = - f (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}

$\frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$- f (x) = - \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2

Poiché

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x + 1)}$

$\neq$

$- \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$ , la funzione non è dispari.

La funzione non è dispari

Passaggio 6

La funzione non è né dispari né pari

Passaggio 7

Poiché la funzione è non dispari, non è simmetrica rispetto all'origine.

Nessuna simmetria rispetto all'origine

Passaggio 8

Poiché la funzione è non pari, non è simmetrica rispetto all'asse y.

Nessuna simmetria rispetto all'asse y

Passaggio 9

Poiché la funzione non è né pari né dispari, non c'è simmetria né rispetto all'origine, né rispetto all'asse y.

La funzione non è simmetrica

Passaggio 10