Calcolo Esempi

$f (x) = 8 x^{2}$ , $16 x + y + 6 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $16 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y + 6 = - 16 x$

Passaggio 1.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 16 x - 6$

Passaggio 2

Utilizza l'equazione in forma esplicita di una retta per determinare il coefficiente angolare.

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Passaggio 2.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.2

Utilizzando l'equazione in forma esplicita di una retta, il coefficiente angolare è $- 16$ .

$m = - 16$

Passaggio 3

Trova la derivata.

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Passaggio 3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 (2 x)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$16 x$

Passaggio 4

La derivata prima di una funzione rappresenta il coefficiente angolare in ogni punto di quella funzione. In questo caso, la derivata di $f (x) = 8 x^{2}$ è $16 x$ e il coefficiente angolare della retta data $y = - 16 x - 6$ è $m = - 16$ . Per trovare il punto su $f (x) = 8 x^{2}$ in cui il coefficiente angolare della retta tangente è lo stesso della retta data $y = - 16 x - 6$ , sostituisci il valore del coefficiente angolare della retta data $- 16$ con il valore di $16 x$ .

$- 16 = 16 x$

Passaggio 5

Risolvi $- 16 = 16 x$ per $x$ per trovare la coordinata x del punto in cui tangente è parallela alla retta data $y = - 16 x - 6$ . In questo caso, la coordinata x è $x = - 1$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $16 x = - 16$ .

$16 x = - 16$

Passaggio 5.2

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x = - 16$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x = - 16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

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Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 x}{16} = \frac{- 16}{16}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 16}{16}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Dividi $- 16$ per $16$ .

$x = - 1$

Passaggio 6

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = 8 x^{2}$ per ottenere la coordinata y del punto in cui la tangente è parallela alla retta data $y = - 16 x - 6$ . In questo caso, la coordinata y è $8$ .

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 8 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 8 \cdot 1$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f (- 1) = 8$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $8$ .

$8$

Passaggio 7

Il punto su $f (x) = 8 x^{2}$ in cui il coefficiente angolare della tangente è uguale al coefficiente angolare della retta data. $y = - 16 x - 6$ ha come coordinata x $- 1$ e come coordinata y $8$ . Il coefficiente angolare della tangente corrisponde al coefficiente angolare di $y = - 16 x - 6$ , cioè $m = - 16$ .

$(- 1, 8), m = - 16$

Passaggio 8

La tangente su $(- 1, 8)$ dove il coefficiente angolare è $m = - 16$ .

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Passaggio 8.1

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 8.1.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 8.1.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (- 16) \cdot x + b$

Passaggio 8.1.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Passaggio 8.1.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$8 = (- 16) \cdot (- 1) + b$

Passaggio 8.1.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 8.1.5.1

Riscrivi l'equazione come $(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$ .

$(- 16) \cdot (- 1) + b = 8$

Passaggio 8.1.5.2

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$16 + b = 8$

Passaggio 8.1.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 8.1.5.3.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = 8 - 16$

Passaggio 8.1.5.3.2

Sottrai $16$ da $8$ .

$b = - 8$

Passaggio 8.2

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = - 16 x - 8$

Passaggio 9