Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 2$ , $(1, - 1)$

Passaggio 1

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola $f (x) = x^{3} - 2$ con $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{3} - 2$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 2$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = - 1$

Passaggio 1.1.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 1.2

Poiché $- 1 = - 1$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 2

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = x^{3} - 2$

Passaggio 3

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 4

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Passaggio 4.2

Riordina.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2$

Passaggio 4.2.2

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2$

Passaggio 4.2.3

Sposta $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2$

Passaggio 4.2.4

Sposta $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Passaggio 4.2.5

Riordina $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

Passaggio 4.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2$

$f (x) = x^{3} - 2$

Passaggio 5

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - (x^{3} - 2)}{h}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 - x^{3} + 2}{h}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 2 + 2}{h}$

Passaggio 6.1.4

Somma $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 + 2}{h}$

Passaggio 6.1.5

Somma $- 2$ e $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 6.1.6

Somma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Passaggio 6.1.7

Scomponi $h$ da $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ .

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Passaggio 6.1.7.1

Scomponi $h$ da $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

Passaggio 6.1.7.2

Scomponi $h$ da $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

Passaggio 6.1.7.3

Scomponi $h$ da $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 6.1.7.4

Scomponi $h$ da $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 6.1.7.5

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 6.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

Passaggio 6.2.2.3

Riordina $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $3 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 9

Sposta il termine $3 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 10

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 11.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Moltiplica $3 x \cdot 0$ .

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Passaggio 12.1.1.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

Passaggio 12.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

Passaggio 12.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Passaggio 12.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} + 0 + 0$ .

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Passaggio 12.2.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 13

Trova il coefficiente angolare $m$ . In questo caso $m = 3$ .

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Passaggio 13.1

Rimuovi le parentesi.

$m = 3 \cdot 1^{2}$

Passaggio 13.2

Semplifica $3 \cdot 1^{2}$ .

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Passaggio 13.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m = 3 \cdot 1$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$m = 3$

Passaggio 14

Il coefficiente angolare è $m = 3$ e il punto è $(1, - 1)$ .

$m = 3, (1, - 1)$

Passaggio 15

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 15.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 15.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (3) \cdot x + b$

Passaggio 15.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (3) \cdot (1) + b$

Passaggio 15.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$- 1 = (3) \cdot (1) + b$

Passaggio 15.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 15.5.1

Riscrivi l'equazione come $(3) \cdot (1) + b = - 1$ .

$(3) \cdot (1) + b = - 1$

Passaggio 15.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + b = - 1$

Passaggio 15.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 15.5.3.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$b = - 1 - 3$

Passaggio 15.5.3.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$b = - 4$

Passaggio 16

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = 3 x - 4$

Passaggio 17