Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ , $(1, 2)$

Passaggio 1

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$ con $x = 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 6$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 - 5 \cdot 1 + 6$

Passaggio 1.1.2.1.2

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$f (1) = 1 - 5 + 6$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Sottrai $5$ da $1$ .

$f (1) = - 4 + 6$

Passaggio 1.1.2.2.2

Somma $- 4$ e $6$ .

$f (1) = 2$

Passaggio 1.1.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 1.2

Poiché $2 = 2$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 2

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 3

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 4

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 4.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 (x + h) + 6$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 x - 5 h + 6$

Passaggio 4.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sposta $- 5 x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Passaggio 4.2.2

Sposta $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Passaggio 4.2.3

Riordina $2 h x$ e $h^{2}$ .

$h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

Passaggio 4.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

$f (x + h) = h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6$

$f (x) = x^{2} - 5 x + 6$

Passaggio 5

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - (x^{2} - 5 x + 6)}{h}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} - (- 5 x) - 1 \cdot 6}{h}$

Passaggio 6.1.2

Semplifica.

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Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 1 \cdot 6}{h}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x + x^{2} - 5 h - 5 x + 6 - x^{2} + 5 x - 6}{h}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 0 + 5 x - 6}{h}$

Passaggio 6.1.4

Somma $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h - 5 x + 6 + 5 x - 6}{h}$

Passaggio 6.1.5

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0 + 6 - 6}{h}$

Passaggio 6.1.6

Somma $h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 6 - 6}{h}$

Passaggio 6.1.7

Sottrai $6$ da $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h + 0}{h}$

Passaggio 6.1.8

Somma $h^{2} + 2 h x - 5 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 2 h x - 5 h}{h}$

Passaggio 6.1.9

Scomponi $h$ da $h^{2} + 2 h x - 5 h$ .

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Passaggio 6.1.9.1

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h + 2 h x - 5 h}{h}$

Passaggio 6.1.9.2

Scomponi $h$ da $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) - 5 h}{h}$

Passaggio 6.1.9.3

Scomponi $h$ da $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h) + h (2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Passaggio 6.1.9.4

Scomponi $h$ da $h (h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x) + h \cdot - 5}{h}$

Passaggio 6.1.9.5

Scomponi $h$ da $h (h + 2 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Passaggio 6.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h + 2 x - 5)}{h}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $h + 2 x - 5$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h + 2 x - 5$

Passaggio 6.2.2

Riordina $h$ e $2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 x + h - 5$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Passaggio 7.2

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Passaggio 7.3

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$2 x + lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Passaggio 8

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$2 x + 0 - 1 \cdot 5$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x - 1 \cdot 5$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$2 x - 5$

Passaggio 10

Semplifica $2 (1) - 5$ .

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Passaggio 10.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$m = 2 - 5$

Passaggio 10.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$m = - 3$

Passaggio 11

Il coefficiente angolare è $m = - 3$ e il punto è $(1, 2)$ .

$m = - 3, (1, 2)$

Passaggio 12

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 12.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 12.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (- 3) \cdot x + b$

Passaggio 12.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (- 3) \cdot (1) + b$

Passaggio 12.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$2 = (- 3) \cdot (1) + b$

Passaggio 12.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'equazione come $(- 3) \cdot (1) + b = 2$ .

$(- 3) \cdot (1) + b = 2$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 + b = 2$

Passaggio 12.5.3

Sposta tutti i termini non contenenti $b$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 12.5.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$b = 2 + 3$

Passaggio 12.5.3.2

Somma $2$ e $3$ .

$b = 5$

Passaggio 13

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = - 3 x + 5$

Passaggio 14