Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ , $(0, 1)$

Passaggio 1

Verifica se il punto dato è sul grafico della funzione data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ con $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{1}{(0) + 1}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Passaggio 1.1.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 1.1.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 1.2

Poiché $1 = 1$ , il punto si trova sul grafico.

Il punto è sul grafico

Passaggio 2

Il coefficiente angolare della tangente è la derivata dell'espressione.

$m$ $=$ La derivata di $f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 3

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 4

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{(x + h) + 1}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $\frac{1}{x + h + 1}$ .

$\frac{1}{x + h + 1}$

Passaggio 4.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 5

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} - (\frac{1}{x + 1})}{h}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Per scrivere $\frac{1}{x + h + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}}{h}$

Passaggio 6.1.2

Per scrivere $- \frac{1}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Passaggio 6.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h + 1) (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h + 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Passaggio 6.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $\frac{x + 1 - (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 6.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + 1 - x - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.4

Somma $0$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - h - 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.5.6

Somma $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}$ nel numeratore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $h$ da $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 6.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Passaggio 7.2

Sposta il termine $\frac{1}{x + 1}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Passaggio 7.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Passaggio 7.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 7.6

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Passaggio 7.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Passaggio 8

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

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Passaggio 9.1

Somma $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $- \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$- \frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Passaggio 9.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 10

Trova il coefficiente angolare $m$ . In questo caso $m = - 1$ .

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Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$m = - \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Rimuovi le parentesi.

$m = - \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$

Passaggio 10.3

Semplifica $- \frac{1}{{((0) + 1)}^{2}}$ .

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Passaggio 10.3.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.3.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$m = - \frac{1}{1^{2}}$

Passaggio 10.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$m = - \frac{1}{1}$

Passaggio 10.3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 10.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$m = - \frac{1}{1}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$m = - 1 \cdot 1$

Passaggio 10.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$m = - 1$

Passaggio 11

Il coefficiente angolare è $m = - 1$ e il punto è $(0, 1)$ .

$m = - 1, (0, 1)$

Passaggio 12

Trova il valore di $b$ usando la formula per l'equazione di una retta.

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Passaggio 12.1

Per trovare $b$ , utilizza la formula dell'equazione di una linea.

$y = m x + b$

Passaggio 12.2

Sostituisci il valore di $m$ nell'equazione.

$y = (- 1) \cdot x + b$

Passaggio 12.3

Sostituisci il valore di $x$ nell'equazione.

$y = (- 1) \cdot (0) + b$

Passaggio 12.4

Sostituisci il valore di $y$ nell'equazione.

$1 = (- 1) \cdot (0) + b$

Passaggio 12.5

Trova il valore di $b$ .

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Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'equazione come $(- 1) \cdot (0) + b = 1$ .

$(- 1) \cdot (0) + b = 1$

Passaggio 12.5.2

Semplifica $(- 1) \cdot (0) + b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + b = 1$

Passaggio 12.5.2.2

Somma $0$ e $b$ .

$b = 1$

Passaggio 13

Ora che i valori di $m$ (pendenza) e $b$ (intercetta di y) sono noti, sostituiscili in $y = m x + b$ per trovare l'equazione della retta.

$y = - x + 1$

Passaggio 14