Calcolo Esempi

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Passaggio 1

Imposta il denominatore in $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) = - 1$

Passaggio 2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6.3.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.6.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.7

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

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Passaggio 2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.8

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 2.8.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.8.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 2.8.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.9

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Passaggio 5

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Intervallo: $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Passaggio 6