Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[0, 6]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 x + 1 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x \geq - 1$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq - 1$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Notazione degli intervalli:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su $[0, 6]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Passaggio 5

Sia $u = 4 x + 1$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 4 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $4$ e $0$ .

$4$

Passaggio 5.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 5.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 5.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $4$ per $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Passaggio 5.5.2

Somma $24$ e $1$ .

$u_{upper} = 25$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Passaggio 6

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Passaggio 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 10.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $25$ e per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.5

$\frac{2}{3}$ e $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $2$ per $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 10.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Passaggio 10.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Passaggio 10.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Passaggio 10.2.10

Sottrai $2$ da $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Passaggio 10.2.11

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Passaggio 10.2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Passaggio 10.2.13

Elimina il fattore comune di $248$ e $12$ .

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Passaggio 10.2.13.1

Scomponi $4$ da $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Passaggio 10.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.13.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Passaggio 10.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Passaggio 10.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Passaggio 11

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Passaggio 11.2

Somma $6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

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Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Passaggio 12.1.2

Scomponi $2$ da $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Passaggio 12.1.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Passaggio 12.1.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Passaggio 12.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Passaggio 12.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Passaggio 13