Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Sposta l'esponente $2$ da ${(1 - \cos (x))}^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.10.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.4

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Passaggio 2.3

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Passaggio 2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Passaggio 2.5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)$

Passaggio 2.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Passaggio 4.1.5

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$