Calcolo Esempi

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Passaggio 1.1.2.4.3

Riordina i fattori di $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4

Imposta ${(x^{2} - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta ${(x^{2} - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Imposta ${(x + 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.3.2

Risolvi ${(x + 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1

Poni $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.4.2.4

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2.4.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.4.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.2.4.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi ${(x^{2} - 1)}^{3}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

${(0 - 1)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

${(- 1)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

${(1 - 1)}^{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $1$ a $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

${(1 - 1)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$0^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Passaggio 5