Calcolo Esempi

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Passaggio 1.1.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Passaggio 1.1.6

Somma $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ e $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (t)$ rispetto a $t$ è $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $t$ da $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $t$ da $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $t$ da $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $t$ da $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $t$ da $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Passaggio 2.2.5

Scomponi $t$ da $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $t$ uguale a $0$ .

$t = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $4 t^{2} + 3 t + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $4 t^{2} + 3 t + 2$ uguale a $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ per $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 4$ , $b = 3$ e $c = 2$ nella formula quadratica e risolvi per $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.4.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.4.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Passaggio 2.5.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Passaggio 2.5.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 16$ per $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.3

Sottrai $32$ da $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.4

Riscrivi $- 23$ come $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (23)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.5.4

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.5.5

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Passaggio 2.5.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Passaggio 2.5.2.5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ vera.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ per ciascun valore di $t$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $t = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $t$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, 1)$

Passaggio 5