Calcolo Esempi

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.1.3

Poiché $2 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $4 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Passaggio 1.1.4.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $2 x + 2 y + 2$ e $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Passaggio 1.1.5.3

Somma $2 x + 2 y + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 2 = - 2 y$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 2 y - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 2 y - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 2 y - 2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.1.1.2.4

Dividi $- y$ per $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$x = - y - 1$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - y - 1$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- y - 1$ a $x$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi ${(- y - 1)}^{2}$ come $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.2

Espandi $(- y - 1) (- y - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1.3.1.2.1

Sposta $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.4

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.5

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 1 (- y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.6.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Somma $y$ e $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.8

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.2.1.8.1

Sposta $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.8.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.1.11

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 4.1.2.2.1

Combina i termini opposti in $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

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Passaggio 4.1.2.2.1.1

Sottrai $2 y^{2}$ da $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Somma $y^{2} + 2 y + 1$ e $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2.1.3

Sottrai $2 y$ da $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2.1.4

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $- 2 y$ e $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Passaggio 4.1.2.2.4

Somma $- 1$ e $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Passaggio 5