Calcolo Esempi

$x^{2} e^{- 3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$- 3 e^{- 3 x} x^{2} + 2 e^{- 3 x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 3 x} x^{2} + 2 e^{- 3 x} x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$ .

$- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x e^{- 3 x}$ da $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x e^{- 3 x}$ da $- 3 x^{2} e^{- 3 x}$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x) + 2 x e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x e^{- 3 x}$ da $2 x e^{- 3 x}$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x) + x e^{- 3 x} (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x e^{- 3 x}$ da $x e^{- 3 x} (- 3 x) + x e^{- 3 x} (2)$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{- 3 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $- 3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Imposta $- 3 x + 2$ uguale a $0$ .

$- 3 x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $- 3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 x = - 2$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x = - 2$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 3}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{- 3 x} (- 3 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} e^{- 3 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{2}{3}$ a $x$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{2}}{3^{2}} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{3^{2}} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{9} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{4}{9} e^{3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{9} e^{3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{9} e^{- 1 \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4}{9} e^{- 2}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Combina.

$\frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{9 e^{2}}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (\frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$

Passaggio 5