Calcolo Esempi

$x^{2} e^{17 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{17 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{17 x}] + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 17 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $17 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [17 x]) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [17 x]) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $17 x$ .

$x^{2} (e^{17 x} \frac{d}{d x} [17 x]) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $17 x$ rispetto a $x$ è $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{17 x} (17 \frac{d}{d x} [x])) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{17 x} (17 \cdot 1)) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Moltiplica $17$ per $1$ .

$x^{2} (e^{17 x} \cdot 17) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.3.2

Sposta $17$ alla sinistra di $e^{17 x}$ .

$x^{2} (17 \cdot e^{17 x}) + e^{17 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (17 e^{17 x}) + e^{17 x} (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riordina i termini.

$17 e^{17 x} x^{2} + 2 e^{17 x} x$

Passaggio 1.1.4.2

Riordina i fattori in $17 e^{17 x} x^{2} + 2 e^{17 x} x$ .

$f' (x) = 17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x}$ .

$17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $x e^{17 x}$ da $17 x^{2} e^{17 x} + 2 x e^{17 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x e^{17 x}$ da $17 x^{2} e^{17 x}$ .

$x e^{17 x} (17 x) + 2 x e^{17 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $x e^{17 x}$ da $2 x e^{17 x}$ .

$x e^{17 x} (17 x) + x e^{17 x} (2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $x e^{17 x}$ da $x e^{17 x} (17 x) + x e^{17 x} (2)$ .

$x e^{17 x} (17 x + 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{17 x} = 0$

$17 x + 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $e^{17 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $e^{17 x}$ uguale a $0$ .

$e^{17 x} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $e^{17 x} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{17 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{17 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.6

Imposta $17 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $17 x + 2$ uguale a $0$ .

$17 x + 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $17 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$17 x = - 2$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $17$ ciascun termine in $17 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $17$ ciascun termine in $17 x = - 2$ .

$\frac{17 x}{17} = \frac{- 2}{17}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $17$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{17 x}{17} = \frac{- 2}{17}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{17}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{17}$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{17 x} (17 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{17}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{2} e^{17 x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

${(0)}^{2} e^{17 (0)}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{17 (0)}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $17$ per $0$ .

$0 e^{0}$

Passaggio 4.1.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{2}{17}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{2}{17}$ a $x$ .

${(- \frac{2}{17})}^{2} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{17}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{2}{17})}^{2} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{17}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{17^{2}} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$1 \frac{2^{2}}{17^{2}} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2^{2}}{17^{2}}$ per $1$ .

$\frac{2^{2}}{17^{2}} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{17^{2}} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Eleva $17$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{289} e^{17 (- \frac{2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune di $17$ .

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Passaggio 4.2.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{17}$ nel numeratore.

$\frac{4}{289} e^{17 (\frac{- 2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{289} e^{17 (\frac{- 2}{17})}$

Passaggio 4.2.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{289} e^{- 2}$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{289} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Combina.

$\frac{4 \cdot 1}{289 e^{2}}$

Passaggio 4.2.2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{4}{289 e^{2}}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0, 0), (- \frac{2}{17}, \frac{4}{289 e^{2}})$

Passaggio 5