Calcolo Esempi

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \sec (x)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \tan (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Passaggio 2.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\sec (x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Risolvi $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{7 π}{6}$ a $x$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la secante è negativa nel terzo quadrante.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{6})$ è $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

$- 10$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.8

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.1.9

$5$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $- 20 \sqrt{3}$ e $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.4

Dividi $- 5 \sqrt{3}$ per $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{11 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{11 π}{6}$ a $x$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{6})$ è $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

$10$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Moltiplica $2$ per $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.2.2.1.7

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

$- 5$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $5 \sqrt{3}$ da $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $15$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.4

Dividi $5 \sqrt{3}$ per $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5