Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{n}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

Passaggio 3

$\frac{1}{n + 1}$ e $u^{n + 1}$ .

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ per $1$ e per $0$ .

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$