Calcolo Esempi

$3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.3.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.3.9

$- 36$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.3.10

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.11

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.12.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 1.1.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $x^{\frac{2}{3}}$ ciascun termine in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ per $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{2}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Dividi $- 12$ per $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{3}{2}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Semplifica $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm 2^{3}$

Passaggio 2.5.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x = \pm 8$

Passaggio 2.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 8$

Passaggio 2.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 8$

Passaggio 2.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 8, - 8$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 0^{3}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.3.3.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $8$ a $x$ .

$3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $3$ per $8$ .

$24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$24 - 36 \cdot 2^{1}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Calcola l'esponente.

$24 - 36 \cdot 2$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$24 - 72$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $72$ da $24$ .

$- 48$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 8$ a $x$ .

$3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Riscrivi $- 8$ come ${(- 2)}^{3}$ .

$- 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.2.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 24 - 36 {(- 2)}^{1}$

Passaggio 4.2.2.1.5

Calcola l'esponente.

$- 24 - 36 \cdot - 2$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 36$ per $- 2$ .

$- 24 + 72$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 24$ e $72$ .

$48$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 (0) - 36 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 - 36 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$0 - 36 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 36 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$0 - 36 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$0 - 36 \cdot 0^{1}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Calcola l'esponente.

$0 - 36 \cdot 0$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(8, - 48), (- 8, 48), (0, 0)$

Passaggio 5