Calcolo Esempi

$4 x^{2} - 128 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 128 \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 128 \sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 128 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3.2

Poiché $- 128$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 128 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 128 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 x - 128 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 1.1.3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 1.1.3.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 1.1.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$8 x - 128 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.3.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x - 128 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.3.10

$- 128$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 x + \frac{- 128 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 1.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{- 128}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.12

Scomponi $2$ da $- 128$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 64}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{2 \cdot - 64}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 1.1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$8 x + \frac{2 \cdot - 64}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x + \frac{- 64}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x^{\frac{1}{2}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $x^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $8 x - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} x) - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$8 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$8 x^{\frac{1}{2} + 1} - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$8 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$8 x^{\frac{1 + 2}{2}} - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.1.5

Somma $1$ e $2$ .

$8 x^{\frac{3}{2}} - \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{64}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$8 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{\frac{3}{2}} + \frac{- 64}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{\frac{3}{2}} - 64 = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x^{\frac{3}{2}} - 64 = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$8 x^{\frac{3}{2}} = 64$

Passaggio 2.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{2}{3}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(8 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1

Semplifica ${(8 x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $8 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.1.2

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2^{3 (\frac{2}{3})} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.3.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{1} = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.1.1.4

Semplifica.

$4 x = 64^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Semplifica $64^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1.1

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

$4 x = {(4^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2.4.3.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x = 4^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 x = 4^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 2.4.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 x = 4^{2}$

Passaggio 2.4.3.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$4 x = 16$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 16$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Passaggio 2.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{16}{4}$

Passaggio 2.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.1

Dividi $16$ per $4$ .

$x = 4$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$8 x - \frac{64}{\sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$8 x - \frac{64}{\sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{64}{\sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 3.5

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 4

Risolvi $4 x^{2} - 128 \sqrt{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

$4 {(4)}^{2} - 128 \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$4^{1} {(4)}^{2} - 128 \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4^{1 + 2} - 128 \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$4^{3} - 128 \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 128 \sqrt{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$64 - 128 \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$64 - 128 \cdot 2$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 128$ per $2$ .

$64 - 256$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $256$ da $64$ .

$- 192$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$4 {(0)}^{2} - 128 \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 - 128 \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 - 128 \sqrt{0}$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$0 - 128 \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 - 128 \cdot 0$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 128$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(4, - 192), (0, 0)$

Passaggio 5