Calcolo Esempi

$5 \sin (x) + 5 \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$5 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$5 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$5 \cos (x) + 5 (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (x) = 5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $5 \cos (x) - 5 \sin (x)$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$5 \cos (x) - 5 \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Dividi $5$ per $1$ .

$5 + \frac{- 5 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4

Frazioni separate.

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$5 + \frac{- 5}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.6

Dividi $- 5$ per $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.7

Frazioni separate.

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$5 - 5 \tan (x) = 0$

Passaggio 2.11

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 \tan (x) = - 5$

Passaggio 2.12

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 \tan (x) = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 2.12.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 \tan (x) = - 5$ .

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.12.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 \tan (x)}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 5}{- 5}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.12.3.1

Dividi $- 5$ per $- 5$ .

$\tan (x) = 1$

Passaggio 2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 2.14

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.15

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.16

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 2.16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.16.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.16.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 2.16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 2.16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 2.16.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 2.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 2.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $5 \sin (x) + 5 \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ a $x$ .

$5 \sin (\frac{π}{4}) + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

$5$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

$5$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $5 \sqrt{2}$ e $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{10 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.3.2.4

Dividi $5 \sqrt{2}$ per $1$ .

$5 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{5 π}{4}$ a $x$ .

$5 \sin (\frac{5 π}{4}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$5 (- \sin (\frac{π}{4})) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$5 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

$- 5$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 \cos (\frac{5 π}{4})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.2.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

$- 5$ e $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} + \frac{- 5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Sottrai $5 \sqrt{2}$ da $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 10 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 10 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 5 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5 \sqrt{2}}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.3.2.4

Dividi $- 5 \sqrt{2}$ per $1$ .

$- 5 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 5 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 5 \sqrt{2})$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5