Calcolo Esempi

$- 64 x^{3} + 12 x + 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 64 x^{3} + 12 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 64$ .

$- 192 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 192 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 192 x^{2} + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$- 192 x^{2} + 12 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 192 x^{2} + 12 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $- 192 x^{2} + 12$ e $0$ .

$f' (x) = - 192 x^{2} + 12$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 192 x^{2} + 12$ .

$- 192 x^{2} + 12$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 192 x^{2} + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 192 x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 192 x^{2} = - 12$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 192$ ciascun termine in $- 192 x^{2} = - 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 192$ ciascun termine in $- 192 x^{2} = - 12$ .

$\frac{- 192 x^{2}}{- 192} = \frac{- 12}{- 192}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 192 x^{2}}{- 192} = \frac{- 12}{- 192}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 192}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $- 192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Scomponi $- 12$ da $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 12 (1)}{- 192}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.2.1

Scomponi $- 12$ da $- 192$ .

$x^{2} = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 16}$

Passaggio 2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 16}$

Passaggio 2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Passaggio 2.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{16}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 2.5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- 64 x^{3} + 12 x + 3$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{1}{4}$ a $x$ .

$- 64 {(\frac{1}{4})}^{3} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- 64 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 64 \frac{1}{4^{3}} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 64 (\frac{1}{64}) + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $64$ da $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{1}{64} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$64 \cdot - 1 \frac{1}{64} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$- 1 + 4 (3) \frac{1}{4} + 3$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 + 4 \cdot 3 \frac{1}{4} + 3$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 + 3 + 3$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$2 + 3$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $2$ e $3$ .

$5$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \frac{1}{4}$ a $x$ .

$- 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$- 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$- 64 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 64 (- \frac{1}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$- 64 (- \frac{1}{64}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{64}$ nel numeratore.

$- 64 (\frac{- 1}{64}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Scomponi $64$ da $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{- 1}{64} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$64 \cdot - 1 \frac{- 1}{64} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot - 1 + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$1 + 12 (\frac{- 1}{4}) + 3$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$1 + 4 (3) \frac{- 1}{4} + 3$

Passaggio 4.2.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$1 + 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4} + 3$

Passaggio 4.2.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$1 + 3 \cdot - 1 + 3$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$1 - 3 + 3$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 3$

Passaggio 4.2.2.2.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{1}{4}, 5), (- \frac{1}{4}, 1)$

Passaggio 5