Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = - x - 6$ e $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.9

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.12

Sposta $- 1$ alla sinistra di ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.13

Riscrivi $- 1 {(x - 6)}^{2}$ come $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.14

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.15

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.16

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.17

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.17.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.17.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.18

Scomponi $x - 6$ da $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.18.1

Scomponi $x - 6$ da $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.18.2

Scomponi $x - 6$ da $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.18.3

Scomponi $x - 6$ da $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.19

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.1

Scomponi $x - 6$ da ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.19.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.2.19.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3.4

Somma $- x$ e $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3.5

Somma $6$ e $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Passaggio 1.1.4.3.6

Somma $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x + 18 = 0$

Passaggio 2.3

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 18$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 3.2.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 18$ a $x$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $6$ da $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1.1

Sottrai $6$ da $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Eleva $- 24$ alla potenza di $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $12$ e $576$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.2.2.1

Scomponi $12$ da $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Passaggio 4.1.2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{48} + 9$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Passaggio 4.1.2.4

$9$ e $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $9$ per $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Passaggio 4.1.2.6.2

Somma $1$ e $432$ .

$\frac{433}{48}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $6$ a $x$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Passaggio 4.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Passaggio 4.2.2.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Passaggio 5