Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + 10 x^{2} - 28 x + 22$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 10 x^{2} - 28 x + 22$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$- 3 x^{2} + 20 x + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 28$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 28 x$ rispetto a $x$ è $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $- 28$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28 + \frac{d}{d x} [22]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.5.1

Poiché $22$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $22$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 20 x - 28$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 20 x - 28$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 20 x - 28$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 20 x - 28 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 20 x - 28 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2} + 20 x - 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 20 x - 28 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $20 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 20 x) - 28 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi $- 28$ come $- 1 (28)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 20 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 20 x)$ .

$- (3 x^{2} - 20 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 20 x) - 1 (28)$ .

$- (3 x^{2} - 20 x + 28) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 28 = 84$ e la cui somma è $b = - 20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 20$ da $- 20 x$ .

$- (3 x^{2} - 20 x + 28) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 20$ come $- 6$ più $- 14$ .

$- (3 x^{2} + (- 6 - 14) x + 28) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} - 6 x - 14 x + 28) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} - 6 x) - 14 x + 28) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (3 x (x - 2) - 14 (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 2$ .

$- ((x - 2) (3 x - 14)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 2) (3 x - 14) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x - 14 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.5

Imposta $3 x - 14$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $3 x - 14$ uguale a $0$ .

$3 x - 14 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $3 x - 14 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 14$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 14$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 14$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{14}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{14}{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (x - 2) (3 x - 14) = 0$ vera.

$x = 2, \frac{14}{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $- x^{3} + 10 x^{2} - 28 x + 22$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$- {(2)}^{3} + 10 {(2)}^{2} - 28 \cdot 2 + 22$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- 1 \cdot 8 + 10 {(2)}^{2} - 28 \cdot 2 + 22$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8 + 10 {(2)}^{2} - 28 \cdot 2 + 22$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 10 \cdot 4 - 28 \cdot 2 + 22$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $10$ per $4$ .

$- 8 + 40 - 28 \cdot 2 + 22$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 28$ per $2$ .

$- 8 + 40 - 56 + 22$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $- 8$ e $40$ .

$32 - 56 + 22$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $56$ da $32$ .

$- 24 + 22$

Passaggio 4.1.2.2.3

Somma $- 24$ e $22$ .

$- 2$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{14}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{14}{3}$ a $x$ .

$- {(\frac{14}{3})}^{3} + 10 {(\frac{14}{3})}^{2} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{14}{3}$ .

$- \frac{14^{3}}{3^{3}} + 10 {(\frac{14}{3})}^{2} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $14$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2744}{3^{3}} + 10 {(\frac{14}{3})}^{2} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{2744}{27} + 10 {(\frac{14}{3})}^{2} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{14}{3}$ .

$- \frac{2744}{27} + 10 \frac{14^{2}}{3^{2}} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.5

Eleva $14$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2744}{27} + 10 \frac{196}{3^{2}} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{2744}{27} + 10 (\frac{196}{9}) - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $10 (\frac{196}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

$10$ e $\frac{196}{9}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{10 \cdot 196}{9} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Moltiplica $10$ per $196$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960}{9} - 28 (\frac{14}{3}) + 22$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $- 28 (\frac{14}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.8.1

$- 28$ e $\frac{14}{3}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960}{9} + \frac{- 28 \cdot 14}{3} + 22$

Passaggio 4.2.2.1.8.2

Moltiplica $- 28$ per $14$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960}{9} + \frac{- 392}{3} + 22$

Passaggio 4.2.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960}{9} - \frac{392}{3} + 22$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1960}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{392}{3} + 22$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1960}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{392}{3} + 22$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{392}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{392}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 22$

Passaggio 4.2.2.2.4

Moltiplica $\frac{392}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 22$

Passaggio 4.2.2.2.5

Scrivi $22$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{22}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $\frac{22}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{22}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 4.2.2.2.7

Moltiplica $\frac{22}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.2.8

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{27} - \frac{392 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$- \frac{2744}{27} + \frac{1960 \cdot 3}{27} - \frac{392 \cdot 9}{27} + \frac{22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2744 + 1960 \cdot 3 - 392 \cdot 9 + 22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $1960$ per $3$ .

$\frac{- 2744 + 5880 - 392 \cdot 9 + 22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $- 392$ per $9$ .

$\frac{- 2744 + 5880 - 3528 + 22 \cdot 27}{27}$

Passaggio 4.2.2.4.3

Moltiplica $22$ per $27$ .

$\frac{- 2744 + 5880 - 3528 + 594}{27}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Somma $- 2744$ e $5880$ .

$\frac{3136 - 3528 + 594}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Sottrai $3528$ da $3136$ .

$\frac{- 392 + 594}{27}$

Passaggio 4.2.2.5.3

Somma $- 392$ e $594$ .

$\frac{202}{27}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(2, - 2), (\frac{14}{3}, \frac{202}{27})$

Passaggio 5