Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 15 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 15 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 15 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 15$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 15$ .

$3 x^{2} - 15$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 15 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 15 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} = 15$

Passaggio 2.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 15$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = 15$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{15}{3}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $15$ per $3$ .

$x^{2} = 5$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - 15 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \sqrt{5}$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\sqrt{5}$ a $x$ .

${(\sqrt{5})}^{3} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$\sqrt{5^{3}} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\sqrt{125} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$\sqrt{25 (5)} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 5} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$5 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $15 \sqrt{5}$ da $5 \sqrt{5}$ .

$- 10 \sqrt{5}$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- \sqrt{5}$ a $x$ .

${(- \sqrt{5})}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{5}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- {\sqrt{5}}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$- \sqrt{5^{3}} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- \sqrt{125} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$- \sqrt{25 (5)} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- \sqrt{5^{2} \cdot 5} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$- (5 \sqrt{5}) - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 \sqrt{5} - 15 (- \sqrt{5})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 15$ .

$- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 5 \sqrt{5}$ e $15 \sqrt{5}$ .

$10 \sqrt{5}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\sqrt{5}, - 10 \sqrt{5}), (- \sqrt{5}, 10 \sqrt{5})$

Passaggio 5